4 – La loi de Hardy – Weinberg 1908
L’étude des variations génétiques de la population à travers les générations est difficile dans les populations naturelles à cause des facteurs susceptibles de modifier leur structure génétique ( les mutations, les migrations, la différence de la capacité à se reproduire et à engendrer une descendance viable…). Pour cela il est possible de suivre les caractéristiques héréditaires dans une population théorique idéale.
4 – 1 – La population théorique idéale
La population théorique idéale se définit par les caractéristiques suivantes :
– Population d’organismes diploïdes à reproduction sexuée et à générations non chevauchantes (aucun croisement entre individus de générations suivantes).
– Population d’effectif infini où les croisements sont entièrement aléatoires (panmixie).
– Population close génétiquement (absence de migration).
– Tous les individus, quel que soit leur génotype, ont la même capacité à se reproduire et à engendrer une descendance viable = absence de sélection.
– Absence de mutations et de distorsion de ségrégation méiotique (anomalie de la méiose).
4 – 2 – La loi de Hardy – Weinberg
Cette loi constitue un modèle de référence en génétique de la population. Elle a été proposée en 1908 indépendamment par le mathématicien anglais Hardy et le médecin allemand Weinberg. Et se définit comme suit:
Dans une population de dimension infinie, où les unions se font au hasard (PANMIXIE), où il n’existe ni migration, ni sélection contre un phénotype particulier, et où le taux de mutations est constant, les fréquence génotypiques et alléliques restent constantes d’une génération à l’autre.
On dit que la population est en équilibre.
a – Cas de gènes autosomiques ( A / a)
Considérons que les fréquences génotypiques AA, Aa et aa sont les mêmes chez les deux sexes.
- La fréquence de AA est D;
- La fréquence de Aa est H;
- La fréquence de aa est R;
avec D+H+R= 1
Les fréquences des allèles à la génération G0 sont:
f(A) = p0 = D0 + H0/2
f(a) = q0 = R0 + H0/2
avec p0 + q0 = 1
Les fréquences des allèles à la génération G1:
Dans une population théorique idéale, les fréquences p0 et q0 représentent les fréquences des gamètes qui portent successivement les allèles “A” et “a”. Et puisque la rencontre des gamètes se fait au hasard (pangamie), la génération G1 résulte de l’union d’un gamète mâle avec un allèle “A”(fréquence p0) ou “a” (fréquence q0) et un gamète femelle avec un allèle “A”(fréquence p0) ou “a” (fréquence q0).
| A (p0) | a (q0) |
A (p0) | AA (p02) | Aa (p0q0) |
a (q0) | Aa (p0q0) | aa (q02) |
Donc les fréquences des génotypes AA, Aa et aa à la génération G1:
f(AA) = p02 =D1
f(Aa) = 2p0q0 =H1
f(aa) = q02 =R1
La fréquence de l’allèle A:
f(A) = p1=D1+H1/2=p02 +2p0q0 /2=p02 +p0q0=p0(p0+q0)
avec p0 + q0 = 1
On aura f(A)=p1=p0
La fréquence de l’allèle a:
f(a) = q1=R1+H1/2=q02 +2p0q0 /2=q02 +p0q0=q0(p0+q0)
avec p0 + q0 = 1
On aura f(a)=q1=q0
Donc les fréquences alléliques restent constantes de la génération G0 à la génération G1
D’ou l’obtention des mêmes fréquences génotypiques en G1
– f(AA) = p2
– f(Aa) = 2pq
– f(aa) = q2
Ceci montre que les fréquences alléliques et génotypiques ne varient pas d’une génération à une autre: c’est l’équilibre de Hardy-Weinberg
Application 1:
Chez une espèce de papillon, le gène codant pour la couleur est portée par un autosome. L’allèle responsable de la couleur sombre (C) domine l’allèle responsable de la couleur claire(c).
Si on considére que la population est en équilibre et que la fréquence du phénotype sombre est 0.98.
1 – Calculer les fréquences des allèles C et c dans cette population.
2 – Calculer les fréquences génotypiques.
1 – les fréquences des allèles C et c.
On a la fréquence du phénotype sombre est 0.98, donc la fréquence du phénotype clair est 0.02.
f[c]= f(cc) = q2 =0,02
f(c) =q=√0,02=0,14
Avec p + q = 1
p = 1- q =1- 0,14
f(C) =p =0,86
2 – les fréquences génotypiques.
f(cc) = q2 =0,02
f(CC) = p2 = (0,86)2 = 0,74
f(Cc) = 2pq = 2 x 0,14 x 0,86 = 0,24
Application 2:
Chez la race de mouton Rambouillet, la couleur de la laine est contrôlée par deux allèles : un allèle dominant B codant pour la couleur blanche, et un allèle récessif n codant pour la couleur noire.
Un troupeau de cette race de moutons se compose de 891 individus à laine blanche et 9 individus à laine noire.
Si on considère que la population est en équilibre et que le gène étudié est porté par un autosome.
1 – Calculer les fréquences des allèles B et n dans cette population.
2 – Calculer les fréquences génotypiques.
1 – On a la fréquence du phénotype noire [n]
f[n]= f(nn) = q2 =9/981+9 = 9/900 = 0,01
Donc la fréquence de l’allèle n est :
f(n) =q=√0,01=0,1
Avec p + q = 1
p = 1- q =1- 0,1
D’où la fréquence de l’allèle B est :
f(B) =p =0,9
2 – les fréquences génotypiques.
f(nn) = q2 =0,01
f(BB) = p2 = (0,9)2 = 0,81
f(Bn) = 2pq = 2 x 0,1 x 0,9 = 0,18
a – Cas de gènes liés au sexe ( A / a)
Si on considère une population en équilibre de H-W et que les fréquences des allèles sont égales chez les deux sexes.
- Les fréquences génotypiques chez les mâles :
f(XAY) = p = f(A)
f(XaY) = q = f(a) - Les fréquences génotypiques chez les femelles :
f(XAXA) = p2
f(XAXa) = 2pq
f(XaXa) = q2
XA (p) | Xa (q) | Y | |
XA (p) | XAXA (p2) | XAXa (pq) | XAY (p) |
Xa (q) | XAXa (pq) | XaXa (q2) | XaY (q) |
Application :
On dispose d’un échantillon de drosophiles qui compte 170 mâles à yeux rouges [w+] et 30 mâles à yeux blancs [w]. Sachant que le gène codant pour la couleur des yeux chez la drosophile est porté par le chromosome X et que l’allèle w+ est dominant.
Si on considère que la population est en équilibre et que les fréquences des allèles sont égales chez les deux sexes.
1 – Calculez la fréquence des deux allèles chez les mâles de cet échantillon..
2 – Calculez les fréquences génotypiques chez les femelles.
1 – On a 170 [w+] et 30 [w]
Puisque les mâles portent un seul chromosome X, le génotype des individus [w+] est Xw+Y et le le génotype des individus [w] est XwY
Donc la fréquence de l’allèle w+ est :
f(w+) = p=170/(170+30)=170/200=0.85
La fréquence de l’allèle w est :
f(w)= q=1- p = 1- 0.85 = 0.15
2 – Les femelles portent deux chromosomes X, leurs génotypes peut être soit Xw+Xw+ (avec une fréquence égale à p2), soit XwXw (avec une fréquence égale à q2), soit Xw+Xw (avec une fréquence égale à 2pq).
La fréquence du génotype XwXw :
q2 = (0.15)2 = 0.0225
La fréquence du génotype Xw+Xw+ :
p2 = (0.85)2 = 0.7225
La fréquence du génotype Xw+Xw :
2pq = 2 x 0.85 x 0.15 = 0.255
dans le cas des maladies gènétiques liées au sexe.
